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元素化学中册 780P

元素化学中册.pdf

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应用光学教学课件 (第五章) 117P

应用光学教学课件 第五章.ppt

* 1第五章 光学系统中成像光束的选择* 2? 组成光学系统的所有零件都有一定的尺寸大小? 实际的光学系统除了应满足前述的 物象共轭位置关系和成像放大率 的要求外,还要有一定的 成像范围? 没有对光学零件的大小加以限制 * 3? 装夹透镜和其他零件的金属框的内孔边缘就是限制光束的光孔,这个光孔对光学零件来说被称为 “ 通光孔径 ” ? 由一点发出能进入透镜或光学系统的光束,其立体角大小决定于透镜的直径 §5-1 光阑及其作用 * 4? 光阑的定义:? 夹持光学零件的金属框(透镜框、棱镜框)限制了成像光束的大小,光学中这种限制成像光束的光孔称为 光阑光阑 。 ? 光孔的大小是可变化的,这种光阑称为 “ 可变光阑可变光阑 ” ? 光阑是实际光学系统成满意(完善)像必不可少的零件。 * 5光阑在光学系统中的作用:? 决定像面的照度。? 决定系统的视场。? 限制光束中偏离理想位置的一些光线,用以改善系统的成像质量? 拦截系统中有害的杂散光。* 6光阑按上述的作用分为:? 孔 径 光 ?? ?? 光 ?? 消 ? 光光 ?? ?? 光 ?孔径光阑:孔径光阑: 它是 限制轴上物点成像光束立体角(锥角)的光阑。也就是起到决定能通过光学系统的光能(即像平面照度)作用的光阑。 * 7以普通照相机来说明光阑可变光阑 底片* 8? ?? 光 ? ? 限制物平面或物空间能被光学系统成像的最大范围的光阑 称为视场光阑 。? ?? 光 ? ? 光阑以减少轴外像差为目的,使物空间轴外点发出的、原本能通过上述两种光孔的成像光束只能部分通过,这种光阑称为渐晕光阑。* 9? 消 ? 光光 ? ? 这种光阑不限制通过光学系统中的成像光束,只限制那些从非成像物体射来的光、光学系统各折射面反射的光和仪器内壁反射的光等,这些光阑称为 消杂光光阑 。 物镜 消杂光光阑分划板* 10§5-2 孔径光阑、入瞳、出瞳v例 5-1 已知一光学系统由三个零件组成,v透镜 1其焦距 f1′= - f1 =100mm,口径 D1 = 40mm;v透镜 2的焦距 f2′= - f2 =120mm,口径 D2 = 30mm,v它和透镜 1之间的距离为 d1 = 20mm;v光阑 3口径为 20mm,它和透镜 2之间的距离 d2 = 30mm。v物点 A的位置 L1 * 11? 解:由于透镜 1的前面没有任何光组,所以它本身就是在物空间的像。? 先求透 ? 2被透 ? 1所成的像。因 ? f1’= - f1 =100mm, l’ = 20mm,利用高斯公式:* 12? 再求光阑 3被前面光组所成的像 。? 必须注意: 为了求得光阑 3在物空间的像,要使它对透镜 1、 2成像。* 13? 先求光阑 3被透镜 2所成的像,在求该像被透镜 1在物空间所成的像。? 求法如上,因 ? l 2’ = 30mm,? y2’ = D3 / 2 = 10mm,利用高斯公式得* 14? y2? 透 ? 1来? 是像,故 y1'' = y2 =13.33mm ? 因 ? l2 = l1'' – d1 ,所以 * 15? 再 ? 透 ? 1求此像所 ?? 的物,仍利用高斯公式:? 求物平面中心点 A? 各光 ? 像的 ? 角 (在物空 ? 的像)* 16? 物点 A? 光 ? D1’ 的 ? 角? ? D2’ 的 ? 角? ? 光 ? D3’ 的 ? 角? u2 ? 最小, ? 明光 ? 像 D2'' 限制了物点的孔 径 角 ,故 透 ? 2? 孔 径 光 ? 。 * 17-y-UP''P1′P2′PP1P2U'' y''QQ 2Q出射光

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应用光学教学课件 (第四章)2 34P

应用光学教学课件 第四章2.ppt

Chapter 4 Plane surfaces and PrismsThe behavior of a beam of light upon refraction or refraction is of basic importance in geometrical optics?Plane surfaces often occur in nature?Artificial plane surfaces are used in optical instruments to bring about deviations or lateral displacements of rays as well as to break light into its colors. The most important devices of this type are prisms. 2.1 Parallel beamParallel beam remains parallel after reflection or refraction at a plane surface.?Refraction causes a change in width of the beam which is easily seen to be in the ratio ,whereas the reflected beam remains of the same width.?There is also chromatic dispersion of the refracted beam but not of the reflected one.(a) external reflection(c) Total reflection at or great than the critical angle(b) Internal reflection at an angle smaller than the critical angle?Reflection at a surface where n increases is called external reflection. It is also frequently termed rare-to-dense reflection because the relative magnitudes of n correspond roughly ( though not exactly) to those of the actual densities of materials.?Fig.2(b) shows a case of internal reflection or dense-to-rare reflection. In this particular case the refracted beam is narrow because is closed to 90°External reflection and internal reflection2.2 The critical angle and total reflectionno refracted lightCritical angleRefraction and total reflection(a)The critical angle is the limiting angle of refraction(b) total reflection beyond the critical ang

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硕士研究生入学考试初试  电力系统分析基础二 试题 3P

硕士研究生入学考试初试 电力系统分析基础二 试题.pdf

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数字电子技术基础 chapt01 78P

数字电子技术基础 chapt01.ppt

1.1 概述1.2 逻辑变量和逻辑运算1.3 逻辑代数的公式与定理1.4 逻辑函数及其表示方法1.5 逻辑函数的公式化简法1.6 逻辑函数的卡诺图 化简法1.7 具有无关项的逻辑函数及其化简1.8 逻辑函数的变换与实现第一章逻辑代数基础一、数字量和模拟量模拟量:随时间连续变化信号 — 音频信号— 模拟电路数字量:不随时间连续变化的离散信号 — 高低电平— 数字电路1.1 概述 ( 1)1、数制 :数码权码1)、十进制: P=10, K={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}2)、二进制: P=2,K={0,1}3)、八进制: P=8,K={0,1,2,3,4,5,6,7}4)、十六进制: P=16 K={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}K={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}1.1 概述( 2)1.1 概述( 3)2、码制:用四位二进制数表示十进制数或十六进制数的方法 BCD码0 0000 8 10001 0001 9 10012 0010 A 10103 0011 B 10114 0100 C 11005 0101 D 11016 0110 E 11107 0111 F 11111.1 概述( 4) 1:算术运算:加法、减法、乘法、除法原 则: 逢二进一规 则:与十进制数相同2:逻辑运算: 与、或、非1.1 概述( 5)二进制算术运算与逻辑运算逻辑代数: 英国数学家 乔治 .布尔 1849提出描述客观事物因果关系的一种数学方法 (布尔代数 ,开关代数 ) 二值逻辑 (数理逻辑 )多值逻辑 (模糊逻辑 )形式逻辑 (语言逻辑 )辩证逻辑 (动态逻辑 )1938年应用于电话继电器开关电路 ,而后并用作为计算机的数学工具1.2 逻辑变量与运算 ( 1)1、逻辑变量:用于描述客观事物对立统 一的二个方面。{0, 1}集合,用单个字母 或单个字母加下标表示是、非;有、无;开、关;低电平、高电平2、基本逻辑运算 :用于描述客观事物的三种不同的因果关系,包括与、或、非。1.2 逻辑变量与运算( 2)逻辑与 : 只有事物的全部条件同时具备时 ,结果才会发生。逻辑乘法运算&ABY与门的符号A B Y0 00 11 01 1 0001与逻辑的真值表实现与逻辑的基本单元电路1.2 逻辑变量与运算( 3)逻辑或 : 只要 事物的诸条件中有任何一个具备时 ,结果 就 会 发生逻辑加法运算≥1ABY或门的符号A B Y0 00 11 01 1 0111或逻辑的真值表实现或逻辑的基本单元电路1.2 逻辑变量与运算( 4)逻辑非 : 只要 事物的某一条件具备时 ,结果不会发生 ;只要 事物的某一条件不具备时 ,结果就会发生。逻辑求反运算A Y0 110非逻辑的真值表1A Y非门的符号1.2 逻辑变量与运算( 5)与非 : 只有 事物的全部条件同时具备时 ,结果 才不会 发生。A BY0 00 11 01 1 1110与非门真值表Y&AB与非门的符号3、复合逻辑运算:与非、或非、与或非、 异或、同或 1.2 逻辑变量与运算( 6)

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模拟电子技术基础试卷 9P

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成绩模拟电子技术基础试卷试卷号:B140001班级 学号___________姓名___________ 日期___________(请考生注意:本试卷共 10 题)大题 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十成绩一、判断下列说法是否正确,凡对者打“√” ,错者打“×”(本大题分 2 小题, 每小题 5 分, 共 10 分)1、试判断下列说法是否正确,正确的在括号中画“√” ,否则画“×” 。1.一个理想对称的差分放大电路,只能放大差模输入信号,不能放大共模输入信号。 ( )2.共模信号都是直流信号,差模信号都是交流信号。 ( )3.对于长尾式差分放大电路,不论是单端输入还是双端输入,在差模交流通路中,发射极电阻 Re一概可视为短路。 ( )4.在长尾式差分放大电路单端输入情况时,只要发射极电阻 Re 足够大,则 Re 可视为开路。 ( )5.带有理想电流源的差分放大电路,只要工作在线性范围内,不论是双端输出还是单端输出,其输出电压值均与两个输入端电压的差值成正比,而与两个输入端电压本身的大小无关。 ( )2、试判断下列说法是否正确,正确的在括号中画“?” ,否则画“×” 。1.负反馈放大电路不可能产生自激振荡。 ( )2.正反馈放大电路有可能产生自激振荡。 ( )3.满足自激振荡条件的反馈放大电路,就一定能产生正弦波振荡。 ( )4.对于正弦波振荡电路,只要满足相位平衡条件,就有可能产生正弦波振荡。 ( )5.对于正弦波振荡电路,只要满足自激振荡的平衡条件,就有可能自行起振。 ( )二、选择正确答案填入空白内,只需填入 A、B、 C、D( 本 大 题 6 分 )在图示电路中,已知变压器副边电压有效值 U2=20V,变压器内阻和二极管导通电压均可忽略不计,R << RL(R 为电感线圈电阻),u D 波形如图所示,选择填空:1.输出电压平均值 UO 约为( ); A.28V B.24V C.18V2.整流电路中二极管的导通角( );A.大于 B.约等于 C.比 小得多πππ3.当负载电阻减小时,输出的纹波电压幅值将( )。A.增大 B.不变 C.减小 ILLRLuD t0VD1~VD4~20V5Hz UOU2三、解答下列各题( 本 大 题 10 分 )图示电路中,A 1~A 5 都是理想运放。1.当开关 S 闭合时,计算: 、 、 、 及 的值。O1u2O34uO2.t=0 时,将 S 打开,问经多少时间, =0V?AC uOR11 4uO1uI31?FAAS20k?2= 1V R1R1 AR1 R1R1R1uO2 uO310k?R3 A5R415k?30k?2VBDuO4R2四、非正弦波发生电路( 本 大 题 10 分 )在图示三角波-方波发生器中,已知 A1、A 2 均为理想运算放大器,为保证电路正常工作,请标出它们的同相输入端和反相输入端,并定性画出 、O1u的波形图,求出电路的振荡周期 T。令稳压管击穿电压为 VZ。OuuOA1 A2CuO1R1R2R3 R4VDZ五、解答下列各题( 本 大 题 12 分 )图示电路是没有画完的功率放大电路,已知输入电压 为正弦波,运算放iu大电路为理想运放。1.标出三极管 VT1 和 VT2 的发射极箭头,并合理连接输入信号 和反馈电i阻 Rf,使电路具有输入电

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模电助教版第2章 基本放大电路分析 175P

模电助教版第2章 基本放大电路分析.ppt

第二章 基本放大电路分析 P2832.1 放大电路基本概念1.管子 : ① 场效应晶体管 (“FET”) ② 双极型晶体管 (“BJT”)2.放大电路构成 :? A放大电路 +- us RsRL信号源 直流电源 3.静态 与 动态 :? A放大电路 +- us RsRL信号源 直流电源 负载 +ui-+uo-uo(t) = A·ui(t) 例 : 共源极放大电路 . 分析 iD , uDS .+ VGG- 4.5Vdg siD iO +uO= uDS - + uI= uGS iI - + VDD- 15VRd 7.5k ? 输入回路 输出回路+- ui 1例 :共源极放大电路 . 分析 iD , uDS .+ VGG- 4.5Vdg siD iO +uO= uDS - + uI= uGS iI - + VDD- 15VRd 7.5k ? 输入回路令 UGS( th) =3V 1.静态工作点 ( ui = 0V时 )输入静态点 : iI = iGS = IGSQ = 0 mA uI = uGS = UGSQ = 4.5V 输出静态点 : iO = iD = IDQ = ?uO = uDS = UDSQ = ?利用 : ① iD = f(uDS) | uGS = 4.5V ② uO =1.静态工作点 ( ui = 0V时 )输入静态点 : iI = iGS = IGSQ = 0 mA uI = uGS = UGSQ = 4.5V 输出静态点 : iO = iD = IDQ = ?uO = uDS = UDSQ = ?利用 : ① iD = f(uDS) | uGS = 4.5V ② uO =例 :共源极放大电路 . 分析 iD , uDS .+ VGG- 4.5Vdg siD iO +uO= uDS - + uI= uGS iI - + VDD- 15VRd 7.5k ? 输入回路令 UGS( th) =3V 例 :共源极放大电路 . 分析 iD , uDS .+ VGG- 4.5Vdg siD iO +uO= uDS - + uI= uGS iI - +

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集成电子技术基础教程 第三篇第4章(142) 22P

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集成电子技术基础教程LDC第三篇 模拟电路和系统集成电子技术基础教程集成电子技术基础教程LDC第四章 功率变换电路集成电子技术基础教程LDC第四章 功率变换电路3.4.1 功率放大电路的特点和基本类型3.4.2 功率放大电路的分析计算3.4.3 集成运放的扩流和扩压3.4.4 集成功率放大器3.4.5 整流、滤波、稳压电路3.4.6 开关型直流稳压电路集成电子技术基础教程LDC1、从功率变换的角度讨论放大电路如何有效地将直流供电电源的能量转换为负载所需要的信号功率。 内容包括: ? 低频功率放大电路?直流稳压电路第四章 功率变换电路2、如何将交流电网的能量转换为电子电路所要求 的直流电能。 集成电子技术基础教程LDC? 由于输出幅度较大,功率放大电路必须工作在大信号条件下,因而容易产生非线性失真。如何尽量减小输出信号的失真是首先要考虑的问题。3.4.1 功率放大电路的特点和基本类型? 半导体器件在大信号条件下运用时,电路中应考虑器件的过热、过流、过压、散热等一系列问题,并要有适当的 保护措施 。 ? 输出信号功率的能量来源于直流电源,应该考虑转换的 效率 。¢主要特点集成电子技术基础教程LDC功率放大电路主要有 互补对称式和 变压器耦合推挽式 两种类型 OTL电路要求输入端 (T1、 T2基极 )上的静态电压也为 VCC/2, 即 vI=VCC/2+vi 单电源 供电的互补对称功放电路,又称 OTL电路v互补对称式 ( Output TransformerLess ) ¢基本类型集成电子技术基础教程LDC双电源 供电的互补对称功放电路,又称 OCL电路静态 (vi= 0)时, T1 、 T2管均截止, VOQ= 0正半周 (vi> 0)时, T1 管导通, T2管截止, +VCC→ T1→ RL→GND负半周 (vi< 0)时, T1管截止, T2管导通, GND→ RL→ T2→- VCC( Output CapacitorLess ) 集成电子技术基础教程LDCOTL功放电路与 OCL功放电路的工作原理类似,都由 NPN和 PNP管构成,但增加了一只大容量 (几百~几千微法 )的电解电容器静态 (vi= 0)时, T1 、 T2 管均截止, v ?o= VCC /2 , 所以电容 C 上充有 VCC/2的电压, VOQ= 0正半周 (vi> 0)时, T1 导通, T2 截止, +VCC→ T1 → C → RL→GND 。 电容充电 。负半周 (vi< 0)时, T1截止, T2导通, 电容放电 (作为电源 ), C → T2→GND → RL。? 单电源互补功放电路 (OTL)的工作原理集成电子技术基础教程LDC? 功率放大器的工作点设置3甲类 θ=360°3乙类 θ=180°3 甲乙类 θ=180°~ 360°乙类放大甲类放大甲乙类放大ICQ略大于 0集成电子技术基础教程LDCTr1、 Tr2为输入和输出变压器;T1、 T2为 同极型 对称推挽管;Rb1、 Rb2提供静态偏置,克服交越失真。正半周 (vi> 0)时, v21为正, T1 导通, v22为负, T2 截止输出正半周。负半周 (vi< 0)时, v21为负, T1截止, v22为正, T2导通,输出负半周。v变压器耦合推挽式 +__+集成电子技术基础教程LDC变压器耦合的突出优点是,通过改变变压器的变比,能找到一个 最佳的等效负载 (此时输出功率最大,且不失真 )。并且,在不提高电源电压的条件下,可以使 输出电压幅度 Vom超过电源电压 。+__+集成电子技术基础教程LDC设输入:则输出:输出功率:以双电源

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集成电子技术基础教程 第三篇第三章(141) 11P

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集成电子技术基础教程LDC第三篇 模拟电路和系统集成电子技术基础教程集成电子技术基础教程LDC第三章 反馈放大电路及应用 (要点 )集成电子技术基础教程LDC反馈的基本概念与分类电压 串联 负 反馈电压 并联 负 反馈电流 串联 负 反馈电流 并联 负 反馈集成电子技术基础教程LDC负反馈放大电路的方框图表示及增益函数— 环路增益负反馈正反馈深度负反馈— 反馈深度自激振荡集成电子技术基础教程LDC负反馈对放大器性能的影响提高闭环增益的稳定性改善放大电路的非线性抑制放大电路内部的温漂、噪声及干扰扩展通频带负反馈对输出电阻的影响负反馈对输入电阻的影响所有影响因数都是集成电子技术基础教程LDC负反馈放大电路的计算A+–vId vO只要运放工作在线性范围内,由于 vO为有限值,一般 A又很大,故 vId很小 — “ 虚短 ”运放的输入级一般采用差分放大,偏置电流很小,故输入电阻很大 — “ 虚断 ”由集成运放构成的各种运算电路集成电子技术基础教程LDC由分立元件构成的深度负反馈放大电路电压串联负反馈集成电子技术基础教程LDC电流并联负反馈虚地集成电子技术基础教程LDC电压串联负反馈电流并联负反馈集成电子技术基础教程LDC负反馈放大电路的自激问题幅值平衡条件相位平衡条件负反馈电路产生自激振荡的条件为集成电子技术基础教程LDC

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贵州大学15—16届 第二学期模拟试卷 大学物理-答案 5P

贵州大学15—16届 第二学期模拟试卷 大学物理-答案.doc

贵州大学 2015—2016 学年第二学期模拟试卷 大学物理-答案一、选择题(共 24 分,每小题 3 分,请将答案填写在表格中)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B B C A C A D D1.下面表述正确的是[ ](A)质点作圆周运动 ,加速度一定与速度垂直 (B) 物体作直线运动,法向加速度必为零 (C)轨道最弯处法向加速度最大 (D)某时刻的速率为零 ,切向加速度必为零。2.用水平压力 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当 逐渐增大时,物Fv Fv体所受的静摩擦力 f [ ](A) 恒为零 (B) 不为零,但保持不变 (C) 随 F 成正比地增大. (D) 开始随 F 增大,达到某一最大值后,就保持不变 3.地球绕太阳公转,从近日点向远日点运动的过程中,下面叙述中正确的是 [ ](A)太阳的引力做正功     (B)地球的动能在增加(C)系统的引力势能在增加  (D) 系统的机械能在减少4.如图所示:一均匀细棒竖直放置,其下端与一固定铰链 O 连接,并可绕其转动,当细棒受到扰动,在重力作用下由静止向水平位置绕 O 转动,在转动过程中,下述说法哪一种是正确的[ ](A) 角速度从小到大,角加速度从小到大; (B) 角速度从小到大,角加速度从大到小;(C) 角速度从大到小,角加速度从大到小; (D) 角速度从大到小,角加速度从小到大.5.已知一高斯面所包围的体积内电量代数和 =0,则可肯定:[ ]?iq(A)高斯面上各点场强均为零。 (B)穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。(C)穿过整个高斯面的电通量为零。 (D)以上说法都不对。6 有一半径为 R 的单匝圆线圈,通以电流 I,若将该导线弯成匝数 N=2 的平面圆线圈,导线长度不变,并通以同样的电流,则该线圈中心的磁感强度是原来的[ ](A)4 倍 (B)2 倍 (C) 1/2 (D)1/4 7. 如图,匀强磁场中有一矩形通电线圈,它的平面与磁场平行,在磁场作用下,线圈发生转动,其方向是[ ](A) ad 边转入纸内, bc 边转出纸外 (B) ad 边转出纸外,bc 边转入纸内 (C) ab 边转出纸外,cd 边转入纸内序号ab c d a b c d (D) ab 边转入纸内, cd 边转出纸外 8.两根无限长的平行直导线有相等的电流 , 但电流的流向相反,如右图,而电流的变化率 均小于零,有一矩形线圈与两导线共面,则[ ]dtI(A)线圈中无感应电流;(B)线圈中感应电流不确定。(C)线圈中感应电流为逆时针方向;(D)线圈中感应电流为顺时针方向;二、填空题(每空 3 分,共 24 分)1. 一质点沿半径为 0.1m 的圆周运动,其位移 θ 随时间 t 的变化规律是 ,)(422SIt???在 t=2s 时,切向加速度 _0.2rad/s2,_________,法向加速度 __6.4 rad/s2_______.?ta na2.一物体质量为 1kg,开始静止于坐标原点,受到的力作用沿 x 轴正方向运动,F 随 x 的变化如图所示,当物体运动到 x=6m 时,该力对物体做功为___16J________,物体的速度为____ ______. 42/ms3.如图所

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高等数学下册 chap2(导数与微分)2导数与微分习题课 27P

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一、主要内容二、典型例题导数与微分习题课求 导 法 则基本公式导 数 微 分关系高阶导数高阶微分一、主要内容1、导数的定义定义2.右导数 :单侧导数1.左导数 :2、基本导数公式 (常数和基本初等函数的导数公式)3、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则(3) 复合函数的求导法则(4) 对数求导法先在方程两边取对数 ,然后利用隐函数的求导方法求出导数 .适用范围 :(5) 隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导 .(6) 参变量函数的求导法则4、高阶导数记作二阶导数的导数称为三阶导数 ,(二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数 )5、 微分的定义定义(微分的实质 )6、导数与微分的关系定理7、 微分的求法求法 :计算函数的导数 ,乘以自变量的微分 .基本初等函数的微分公式 函数和、差、积、商的微分法则8、 微分的基本法则微分形式的不变性二、典型例题例解例解例解 两边取对数例解 先去掉绝对值例解在 处连续 ,且求例解试确定常数 a , b使 f (x)处处可导 ,并求例解利用 在 处可导 ,即是否为连续函数 ?应有 函数在该区间上存在 , 但也在该区间上连续 .例则肯定导函数注解不能断定在某区间上连续并可导 ,显然当 为初等函数是连续的 .但当 不趋向于任何极限 . 因此 ,例解故例解 两边取对数

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高等数学下册 chap2(导数与微分)2-5(高阶导数与高阶微分) 28P

高等数学下册 chap2导数与微分2-5高阶导数与高阶微分.ppt

一、高阶导数二、高阶微分第二节 高阶导数与高阶微分问题 :变速直线运动的加速度 .定义高阶导数也是由实际需要而引入的 .这就是二阶导数的物理意义一、高阶导数'存在 , 二阶导数 .' '记作三阶导数的导数称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶导数的导数称为高阶导数 .三阶导数 ,四阶导数 , n阶导数 , 记作一般地 ,例解由高阶导数的定义 ,欲求函数的高阶导数 ,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去 ,而不需要新的方法 .求二阶导数的方法1. 一般函数导数求法? 一般函数求高阶导数:逐阶求导即可 .2.抽象函数高阶导数求法? 注意抽象复合函数高阶导数求法解练习3.隐函数二阶导数求法方法 1、在求导后的方程两边继续求导,并将一阶导数代入;方法 2、由一阶导数的表达式求二阶导数 .解方法 1方法 24. 由参数方程确定函数二阶导数求法解例解几个基本初等函数的 n阶导数 则例解例解例解同理可得即求 n阶导数时 , 关键要寻找规律 , 注另外在的规律性 ,写出 n 阶导数 .便可看出规律 ;一般求至三阶 ,求导过程中不要急于合并 , 分析结果例解 求 n阶导数需要运用技巧几个常用高阶导数公式函数的 n阶导数公式 ,使问题简化 .尽可能化为求某些熟知(通过四则运算 , 变量代换 ,恒等变形 )例解 若直接求导 ,将是很复杂的 ,且不易找出规律 ,所以将式子恒等变形 .例解例解分析 此函数是 6次多项式 , 故不需将函数因式全乘出来 .因为其中 为 x的 5次多项式 , 故又是求 6阶导数 ,莱布尼兹公式可类比着牛顿二项公式加强记忆则莱布尼兹 (Leibniz,1646—1727)德国数学家 .莱布尼兹公式例解 则由莱布尼兹公式知设提示经上面这样变形后再求 n阶导数 ,就方便多了 .二、高阶微分高阶微分没有形式不变性!!小结高阶导数的定义及物理意义 ;高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );n阶导数的求法 ;1.直接法 ; 2.间接法 .思考题设 连续,且 ,求 .思考题解答可导不一定存在 故用定义求

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高等数学下册 chap2(导数与微分)2-4(函数的微分) 30P

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一、微分的概念三、微分基本公式和运算法则四、函数的局部线性化二、函数可微性与可导性之间第二节 函数的微分的关系五、微分的实际意义正方形金属薄片受热后面积的改变量 .1.问题的引出实例线性函数 (linear function)一、微分的概念的线性 (一次 )函数 ,很小时可忽略 .的高阶无穷小 ,再如 ,既容易计算又是较好的近似值一定条件 ,线性函数 ,对一般函数则无论在理论分析上还是在实际则函数的增量 可以表示为如果存在这样的近似公式 ,应用中都是十分重要的 .定义2. 微分的定义如果则称 函数可微 (differentiable),记作微分 (differential),并称为函数由定义知 :(微分的实质 ) 满足什么条件的函数是可微的呢?微分的系数 A如何确定呢 ?微分与导数有何关系呢 ?下面的定理回答了这些问题 .定理证 (1) 必要性即有二、函数可微性与可导性的关系(2) 充分性求导法又叫微分法从而其微分一定是定理即有导数称为微商称为函数的微分 , 记作称为自变量的微分 ,记作注例解几何意义 (如图 )微分的几何意义对应的增量 ,增量时 ;是曲线的纵坐标就是 切线 纵坐标求法1. 基本微分公式三、微分基本公式与运算法则计算函数的导数 , 乘以自变量的微分 .2. 运算法则例解例解结论微分形式的不变性3. 复合函数的微分法此 结论用于求复合函数的导数 ,有时能简化运算 .无论 x 是自变量还是中间变量 , 函数的微分形式总是例解 法一 用复合函数求导公式法二 用微分形式不变性在计算中也可以不写中间变量 ,直接利用微分形式不变性 .例例解例解在下列等式左端的括号中填入适当的函数 ,使等式成立 .例解四、函数的局部线性化由几何意义,即用线性函数近似代替非线性函数例解常用近似公式证明例解五、微分的实际意义微分学所要解决的两类问题 :函数的变化率问题函数的增量问题 微分的概念导数的概念求导数与微分的方法 ,叫做 微分法 .研究微分法与导数理论及其应用的科学 ,叫做 微分学 .导数与微分的联系 :★★小结 从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限,它们是完全不同的概念 . ★ 导数与微分的区别 :★ 微分的基本思想 以直代曲即用线性函数近似代替非线性函数★ 熟记 微分公式、用一阶微分形式不变性求微分

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高等数学下册 chap2(导数与微分)2-3(隐函数及参数方程确定的函数的导数) 39P

高等数学下册 chap2导数与微分2-3隐函数及参数方程确定的函数的导数.ppt

一、隐函数的求导法三、参数式函数的求导法四、相关变化率二、对数求导法第二节 隐函数和参数式函数的求导法定义1. 隐函数的定义所确定的函数称为 隐函数 (implicit function).的形式称为 显函数 .隐函数的可确定显函数例开普勒方程开普勒 (J.Kepler)1571-1630德国数学家 ,天文学家 .的隐函数客观存在 ,但无法将 表达成 的 显式表达式 .显化 .一、隐函数的求导法2. 隐函数求导法隐函数求导法则用 复合函数求导法则 ,并注意到其中将方程两边对 x求导 .变量 y是 x的函数 .隐函数不易显化或不能显化 如何求导例解则得恒等式代入方程 ,将此恒等式两边同时对 x求导 ,得因为 y是 x的函数 , 是 x的复合函数 ,所以求导时要用复合函数求导法 , 虽然隐函数没解出来 ,但它的导数求出来了 ,当然结果中仍含有变量 y.允许在 的表达式中含有变量 y.一般来说 ,隐函数求导 ,求 隐函数的导数时 ,只要记住 x是自变量 ,将方程两边同时对 x求导 ,就得到一个含有导数从中解出即可 .于是 y的函数便是 x的复合函数 ,的方程 .y是 x的函数 ,例解 法一 利用 隐函数求导法 .将方程两边对 x求导 ,得解出 得法二 从原方程中解出 得先求 x对 y的导数 ,得再利用 反函数求导法则 ,得例解切线方程法线方程 通过原点 .例解将上面方程两边再对或解解得利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题 .如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直 ,正交轨线 .称这两条曲线是 正交的 .如果一个曲线 族 中的每条曲线与另一个曲线 族中的所有与它相交的曲线均正交 , 称这是正交的两个曲线族或互为正交曲线族在很多物理现象中出现 ,例如 ,静电场中的电力线与等电位线正交 ,热力学中的等温线与热流线正交 , 等等 .证即证 .两条曲线在该点的现只须证明切线斜率互为负倒数 .作为隐函数求导法的一个简单应用 , 介绍(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数 .对数求导法 ,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单 . 适用于方 法 先在方程两边取对数 , --------对数求导法然后利用隐函数的求导法求出导数 .二、对数求导法例解 等式两边取对数得隐函数两边对 x求导得等式两边取对数得例解 等式两边取对数得注复合函数改写成如上例则只要将幂指函数也可以利用对数性质化为 :再求导 ,有些显函数用对数求导法很方便 .例如 ,两边取对数两边对 x求导解答 等式两边取对数解答三、参数式函数的求导法例如 消去参数问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ?所以 ,单调连续的 反函数由 复合函数及反函数的求导法则 得例解 所求切线方程为例解可由 切线的斜率 来反映 .即设由方程确定函数 求方程组两边对 t 求导 ,得故例解若曲线由极坐标方程 给出 ,利用可化为极角 参数方程 ,因此曲线 切线的斜率为例解 将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为 又切点为故法线方程为即参数方程这种将极坐标方程化为参数方程 ,借助参数方程处理问题的方法 ,在高等数学中将多次遇到 .为两可导函数之间有联系 之间也有联系称为相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式对 t 求导相关变化率求出未知的相关变化率四、相关变化率相关变化率之间的关系式代入指定时刻的变量值及已知变化率 ,(1)(2)(3)例解(1)(2)仰角增加率(3)设自开始充气以来的时间 t,解体积为在 t时刻气体的半径为小结隐函数求导法则工具 :复合函数 链导法则 ;对数求导法对方程两边取对数 ,按隐函数的求导法则求导 .参数方程求导注意 :变

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高等数学下册 chap2(导数与微分)2-1(导数概念) 34P

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一、导数概念引例三、函数可导性与连续性之间的关系 四、经济学中的变化率问题二、导数的定义第一节 导数概念一、导数概念引例例 1 变速直线运动的瞬时速度一质点作直线运动 ,已知路程 s 与时间 t 的试确定 t0时的 瞬时速度 v(t0).这段时间内的 平均速度在每个时刻的速度 .解若运动是 匀速的 , 平均速度就等于质点关系质点走过的路程此式既是它的定义式 ,又指明了它的计算它越近似的定义为并称之为 t0时的 瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率 .若运动是 非匀速 的 ,平均速度 是这段时间内运动快慢的平均值 , 越小 ,表明 t0 时运动的快慢 . 因此 , 人们把 t0时的速度注方法 ,例 2割线的极限位置 ——对于一般曲线如何定义其切线呢 ?曲线的切线斜率问题若已知平面曲线 如何作过的切线呢 .初等数学中并没有给出曲线切线的定义 .过该点的切线 .我们知道与圆周有唯一交点的直线 即为圆周但此定义不适应其它曲线 . 如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线 .切线位置 .曲线上点法国数学家费马在 1629年提出了如下的定义和求法 ,P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题 .处切线的斜率 .已知曲线的方程 确定点如果割线 MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,极限位置即C在点 M处的 切线 .如图 ,割线 MN的斜率为切线 MT的斜率为 就其实际意义来说各不相同 , 关系上确有如下的共性 :但在数量1. 在问题提法上 ,都是已知一个函数求 y关于 x在 x0处的变化率 .2. 计算方法上 ,(1) 当 y随 x均匀变化时 ,用除法 .(2) 当变化是非均匀的时 ,需作平均变化率的上述两例 ,分别属于运动学、几何学中的问题 ,极限运算 :二、导数的定义定义函数与自平均变化率 .中的任何一个表示 ,存在 ,如平均变化率的极限 :或或有导数 . 可用下列记号则称此极限值为处不可导或导数不存在.特别当 (1)式的极限为有时也说在 x0处导数是正 (负 )无注 要注意导数定义可以写成多种形式 :当极限 (1)式不存在时 , 就说函数 f (x)在 x0在利用导数的定义证题或计算时 ,正 (负 )无穷时 ,穷大 ,但这时 导数不存在 .关于导数的说明或如果 x0= 0,可以写成特别 是 ,(1) 点导数是因变量在点 x0处的变化率 , 它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度 .(2) 如果函数 y = f (x)在开区间 I 内的每点处都可导 ,就称函数 f (x)在开区间 I 内可导 .注记作即或(3) 对于任一 都对应着 f (x)的一个确定的导数值 .这个函数叫做原来函数 f (x)的 导函数 .右导数单侧导数左导数又分别可以解释为曲线点的左切线的斜率与右切线的斜率 .从几何上处的可导性 .此性质常用于判定 分段函数 在 分段点如果 在开区间 内可导 ,都存在 ,例解求导举例 (几个基本初等函数的导数 ) 步骤即例解即同理可得 自己练习例解更一般地如即例解即例解即例解即1.几何意义特别地 :即导数的几何意义与物理意义例解 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为由 导数的几何意义 ,即即2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率 .路程对时间的导数为物体的瞬时速度 ;电量对时间的导数为电流强度 ;为物体的线 (面 ,体 )密度 .变速直线运动交流电路非均匀的物体 质量对长度 (面积 ,体积 )的导数三、函数可导性与连续性之间的关系该点必连续 .证定理 如果函数 则函数在在点 x处可导 ,即函数极限与无穷小的关系所以

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高等数学下册 chap2(导数与微分)2-2(函数的求导法则) 34P

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一、函数的和、差、积、商的三、复合函数的求导法则四、初等函数的求导问题二、反函数的求导法则第二节 函数的求导法则求导法则定理 1并且则 它们的线性组合、积、商 在点 x处也可导 ,一、函数的线性组合、积、商的求导法则证 则由 导数的定义 有证 (3)推论注意 :例解例解例解同理可得即例解同理可得即解 法一法二注在进行求导运算中 ,且也能提高结果的准这样使求导过程简单 ,尽量先化简再求导 ,确性 .用求导法则与用定义求导数时 , 结果有时不一致 ,这是为什么 ? 如已知无意义 ,解所以 , 不存在 .上述解法有问题吗 ?注意问题出在 不连续 .因此可能在不连续点处不代表该点处的导数值 .用定义 !二、反函数的求导法则定理即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 .证于是有例解同理可得单调、可导 ,直接函数 反函数 注 如果利用三角学中的公式 :也可得公式也可得公式三、复合函数的求导法则定理即 因变量对自变量求导 ,等于因变量对中间变量求导 ,乘以中间变量对自变量求导 .(链式法则)证推广例解例解例解例解例解1. 常数和基本初等函数的导数公式四、初等函数的求导法则3. 反函数的求导法则或且2.函数的和、差、积、商的求导法则设 )(),( xvvxuu == 可导,则( 1) vuvu ¢¢=¢ )( , ( 2) uccu ¢=¢)(( 3) vuvuuv ¢+¢=¢)( , ( 4) )0()( 2 1¢-¢=¢ vv vuvuvu .( 是常数 )4. 复合函数的求导法则初等函数的 导数未必是初等函数 .注利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决 .例解例解例解所以例解例证由于斜率相等 ,知二切线平行 .(1) 求交点分别为曲线在 A, B点的切线斜率 .(2) 求导数作的曲线的切线彼此平行 .解分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数 ,综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及复合函数求导法则 .(注意成立条件 );复合函数的求导法则五、小结不能遗漏 );(对于 复合函数 ,反函数的求导法则层的复合结构 ,注意一层函数的积、商求导法则注意记住基本初等函数的导数公式3.用求导公式求导数 (区间内点处 ).1.用定义求导数 (分段点处或因条件所限必须用定义求 )2.用左右导数定义求导数 (分段点处或区间端点处 )注意思考题 (是非题 )非例如 处处可导 ,处不可导 , 但复合函数处处可导 .1、试证:可导偶函数的导函数是奇函数。证明2、

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高等数学的教学课件 1-1(函数) 52P

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1/552/55第一节 函数一、常量与变量二、实数集与绝对值三、函数概念四、函数性质五、由已知函数产生新函数六、常见函数七、小结3/55一、常量与变量常量 :在所研究的过程中只取一个定值变量 :在所研究的过程中可以取不同的值常量与变量是 相对的 .4/55区间 是指介于某两个实数之间的全体实数 .这两个实数叫做区间的端点 .称为 开区间 ,称为 闭区间 ,二、实数集与绝对值5/55有限区间无限区间称为 半开半闭区间 .全体实数的集合 R 也可记作是无限区间 .6/55区间长度 :两端点间的距离 (线段的长度 )今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、称它为 “区间 ”,常用 I 表示 .无限区间的场合 ,注端点、 简单地7/55绝对值 :绝对值不等式 :8/55数集即邻域 , 记作几何表示邻域9/55有时简记为去心 (空心 ) 即10/55在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“ ”表示 “对每一个 ”, 或 “任取 ”, 或 “任意给定 ”;“ ”表示 “存在 ”, 或 “至少存在一个 ”, 或 “能够找到 ”.如 实数的阿基米德 (Archimedes) 公理 :任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个 自然数 n,用逻辑符号 将 阿基米德 公理改写 :逻辑符号11/55三、函数的概念定义 设数集自变量因变量 定义域 (domain)定义中 , 按对应法则 f , 总有 唯一确定的值 y与之对应 , 这个值称为函数 f 在 x处的函数值 ,记作函数值 全体组成的集合称为range记作 即函数 f 的 值域 ,记为12/55注(2) 函数的记号 : 除常用的 f 外 , 如 相应地 ,函数可记作 :等 ,等 , 也可记作 :在同一个问题中 ,讨论到几个不同的函数时 , 要用不同的函数符号 .构成函数的是 两个不同的函数 .(因为定义域不同 ).如与对应法则 f .定义域两个要素 :(1) 13/55(4) 对应的函数值 y总是唯一的 ,否则称为如 是多值函数 ,它的两个单值支是 :单值函数 , 多值函数 .约定 :今后 无特别说明 时 , 函数是指单值函数 .这种函数称为含义的区别 :自变量 x和因变量 y之间的对应法则 ;与自变量 x对应的函数值 ;为由它所确定的函数 f.(3) 14/55即简称函数表示法的(5)而与用什么字母无关 ,无关特性 ,函数的表示法只与定义域和对应法则有关 ,15/55定义域 一般有两种 :(1)实际定义域自变量所能取的使算式有意义的定义区间 .由问题的实际意义所确定 .(2)自然定义域函数的定义域常用区间来表示 , 又可称为 :一切实数组成的集合 .16/55例解17/55常用的函数关系表示法列表法 ;主要有 三种形式公式法 (解析法 ).各种表示法 ,都有其 优点和不足 . 图象法 ;公式法 (解析法 )图象法列表法今后以公式法为主 , 便于进行理论分析和计算 ;形象直观 ,富有启发性 ,便于记忆 ;便于查找函数值 , 但它常常是不完全的 .也可用语言描述 .配合使用图形法和表格法 . 18/55取自变量在横轴上 变化 ,在平面直角坐标系中 ,因变量在纵轴上变化 , 则函数的图形是指平面点集 :通常是一条或几条曲线 (包括直线 ).中的集合函数的图形 (图象 )19/55四、函数的简单性态增量注:20/55注:21/551.均匀性22/55均匀变化问题的广泛性:物理上:数学上:经济上:均匀变化都可以用线性函数来表示 .定理 1.23/55单调如果对 恒有monotone2. 单调性 (monotonicity)增加 ;increasing减少 ;decreasi

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高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-6(曲率) 20P

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第十一节 平面曲线的曲率一、弧微分二、曲率的概念三、曲率的计算公式四、曲率半径与曲率圆五、小结一、弧微分弧微分公式工程技术上有时也需要研究曲线的弯曲 :船体结构的钢梁 , 机床的转轴等在荷载作用下要产生弯曲变形 , 设计时对其弯曲必须有一定限制 , 这就要 定量 研究他们的弯曲程度 .二、曲率的概念平均曲率 : 单位弧长的弧段上的切线转角 , 即注 : 平均曲率反映一段弧整体的弯曲程度 ,它与转角成正比 , 与弧长成反比 .例 1.求直线和圆的平均曲率 .解 . 直线的平均曲率为圆的平均曲率为与直观事实相符 .由于一般曲线在不同点处的弯曲程度是不同的 ,因此要描述每一点处的弯曲程度 . 这时 ,可以用类似于由平均速度引入瞬时速度的方法来定义曲线弧在 定点处的曲率 .定义容易求出 :三、曲率的计算公式曲率计算公式例 2.解例 3解曲线由参数方程曲线由极坐标方程四、曲率半径与曲率圆圆是均匀弯曲的 , 圆周上任一点处的曲率都相等 , 且曲率等于半径的倒数 . 利用圆的这一特征 ,例 4解五、小结弧微分平均曲率 单位弧长的弧段上的切线转角 , 即曲率曲率半径 (中心、圆 )参数式曲线极坐标式曲线直角坐标曲线

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高等数学 微分中值定理与导数的应用 3-1(微分中值定理) 12P

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1/12第一节 微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2/12。一、罗尔定理定理 1:(罗尔中值定理)如果函数 ? 足以下条件:?? ;上可 ?;? 至少存在一点 ,有? 明:因 ? 在 ? 区 ??? 与最小与最小 ?? 定理,函数定理,函数1)在闭区间2)在开区间3)上连续,利用最大上连续,利用最大在 ? 区? 上存在和最小 ? 。, 在 是常数函数,的任一点 ? 的 ? 数都 ? 零。最大值1)如果3/122)如果 ,因 ? 至少有一个不。即存在使得 。又因 ? 在开区 ? 上可 ? ,存在,即存在。我 ? 考 ?? 点的左 ? 数和右 ? 数,和当 充分小 ? , 所以此 ? 有当 ? ,有,等于端点函数值。无妨设所以4/12当 ? ,有利用极限的保号性 ?因此注:定理中的三个条件缺一不可。在 考 ? 函数2)1)注:定理中的三个条件缺一不可。在注:定理中的三个条件缺一不可。在5/12二、拉格朗日中值定理定理 2:(拉格朗日中值定理)如果函数 ? 足以下条件?? ;? 至少存在一点 ,有? 明:考 ? 函数上可 ? ;1)在闭区间2)在开区间6/12利用 ? 尔 中 ? 定理,至少存在一点 ,有即? 然 在 ? 区 ? ?? ,在开区 ? 上可 ? 。注: ? ,当 ? ,在区 ?上利用拉格朗日中 ? 定理7/12当 ? ,在区 ? 上利用拉格朗日中 ? 定理;在与 之 ? 存在一点 使得定理 3:如果函数 在区 ?? 数恒 ? 零,那么在区 ?上恒 ? 零。(无妨 ? ),函数在区 ? 上可 ? 利用拉格朗日中 ? 定理,存在有 ,即例 1: ? 明:证明:对任给的。 8/12例 2: ? 明:例 3: , ? 明:? 明:在区 ? 上考 ? 函数 ,利用 拉格朗中至少存在一点 使得日中值定理,在区间即又因 ? 所以 9/12即例 4: ? 明:若函数 ? 足:上 ?? ;上可 ? ;,且? 有? 解拉格朗日中 ? 定理的几何意 ? 1)在闭区间2)在开区间3)10/12三、柯西中值定理定理 4:(柯西中值定理)如果函数 ? 足以下条件:上 ?? ;上可 ? ;在 内不 ? 零;,有? 明: 1)先 ? 明 。利用拉格朗日中 ? 定理有1)在闭区间2)在开区间3)则至少存在一点存在11/122)考 ? 函数? 然 在 ? 区 ? ?? ,在开区 ?上可 ? 。利用 ? 尔 中 ? 定理,至少存在一点 ,有即12/12,其中在例 5: ? 在 上 ?? 、可 ? ,且 ? ,? 常数 ? 明:若? 方程 内至少有一个 ? 根。

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大学课件 高等数学 4-习题课 40P

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积分法原 函 数选择u有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分几种特殊类型函数的积分一、主要内容1、原函数定义原函数存在定理即: 连续函数一定有原函数.连续函数一定有原函数.2、不定积分(1) 定义(2) 微分运算与求不定积分的运算是 互逆互逆 的 .(3) 不定积分的性质3、基本积分表是常数 )5、第一类换元法4、直接积分法第一类换元公式( 凑微分法凑微分法 )由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法 .常见类型 :6、第二类换元法第二类换元公式常用代换 :7、分部积分法分部积分公式8.选择 u的有效方法 :LIATE选择法L----对数函数; I----反三角函数;A----代数函数; T----三角函数;E----指数函数; 那个在前那个选作 u.9、几种特殊类型函数的积分( 1)有理函数的积分定义 两个多项式的商表示的函数称之 .真分式化为部分分式之和的 待定系数法四种类型分式的不定积分此两积分都可积 ,后者有递推公式令( 2) 三角函数有理式的积分定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之.一般记为( 3) 简单无理函数的积分讨论类型:解决方法:作代换去掉根号.二、典型例题例 1解例 2解例 3解例 4解 (倒代换 )例 5解解得例 6解例 7解例 8解例 9解例 10解例 11解测 验 题测验题答案

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