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【精品文档】5.3线代课件.ppt

【精品文档】5.3线代课件.ppt
内容要点:
【精品文档】5.3线代课件,* 1第五章北京工商大学基础部线性代数§5.3、二次型与对称矩阵的有定性1、定义如果对于任意一组不全为零的实数 (x1, x2, … x n), 都 有f(x1, x2, … x n) > 0,则称实二次型 f(x1, x2, … x n)正定,其 n阶实对称矩阵 A称为正定矩阵 .用 矩阵描述:例 1所以 f正定,其 矩阵 In是正定矩阵 .* 2第五章北京工商大学基础部线性代数正定 ?例 2所以是半负定 .例 3 是不定 .2、实二次型(实对称矩阵 A) 正定的判别方法:* 3第五章北京工商大学基础部线性代数( 1)、下列条件都是实二次型 f(x1, x2, … x n) = XTAX 正定的充 分必要条件: ?正惯性指数为 n.?A的所有顺序主子式全大于零 .?A的特征值全大于零 .?A与单位矩阵 In合同 .?存在正交矩阵 Q, 使* 4第五章北京工商大学基础部线性代数例 4解 22-4-4-2-2它的顺序主子式为=1 > 0 =1 > 0所以 f正定 .( 1)* 5第五章北京工商大学基础部线性代数( 2)令经过这个非退化的线性变换,二次型化为因此该二次型的正惯性指标为 2,从而该二次型不是正定的 .* 6第五章北京工商大学基础部线性代数例 5解解 不等式组?* 7第五章北京工商大学基础部线性代数( 2)、正定矩阵的性质:?A是正定矩阵,若 A ~ B, 则 B也是正定矩阵 .?A正定 ? |A| > 0, 即 A可逆 .?A正定 ? kA( k > 0), AT, A–1, A*也是正定矩阵 .?A正定 ? A的主对角线上的元素 a jj > 0.?* 8第五章北京工商大学基础部线性代数证明: A正定 ? A*也是正定矩阵 .证 方法一设 A的特征值为且 |A| > 0, 并且 A*的特征值为:即 A*的全部特征值都大于零, 所以 A*也是正定矩阵 .方法二由 A正定知, |A| > 0, 且存在可逆矩阵 C, 使于是其中 且 P为可逆矩阵, 所以 A*也是正定矩阵 .* 9第五章北京工商大学基础部线性代数例 6 设 A是 n阶正定矩阵, I是 n阶单位矩阵,证明 |A+I|>1.设 A的特征值为证则 A+I的特征值分别为从而也可 证明 A+I正定* 10第五章北京工商大学基础部线性代数例 7证代入已知等式,得因为 故 ?满足得因为 A为实对称矩阵,其特征值一定为实数,故 只有 ?=1, 即 A的全部特征值都大于零,因此 A是正定矩阵 .* 11第五章北京工商大学基础部线性代数n阶可逆矩阵 A与 I等价。只有单位矩阵 In与 In相似。只有正定矩阵与单位矩阵合同。* 12第五章北京工商大学基础部线性代数1、设 A和 B为 n阶矩阵,则( )成立( 1)、 A ~ B ? A和 B等价;( 2)、 A和 B等价 ? A ~ B ;( 3)、 A ~ B ? A和 B等价;( 4)、 A和 B等价 ? A ~ B ;( 5)、 A ~ B ? A ~ B ;( 6)、 A ~ B ? A ~ B ;1,3* 13第五章北京工商大学基础部线性代数2、设 A和 B为实 n阶 对称矩阵,则( )成立( a)、 A ~ B ? A ~ B ;( b)、 A ~ B ? A ~ B ;bn阶实数矩阵 A, 如果 ATA=I, 称 A为正交矩阵 .都是实对称矩阵,但A,B不相似此时 A与 B虽 合同,但特征值是不同的 .* 14第五章北京工商大学基础部线性代数( b)、 A ~ B ? A ~ B ;事实上,由于 A,B是实对称矩阵,总 存在

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