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数分竞赛训练13科大2009年2010年.doc

数分竞赛训练13科大2009年2010年.doc
内容要点:
数分竞赛训练(13)科大2009年2010年,11 求证:在 上不存在可导函数 ,使其满足 。Rf 32()1fx???证明 如果这样的 存在,我们来求 的不动点,即满足 的 ,由假f()()fx?设 ,由此得 ,这表明 有唯一的不动点 。321x???1x?(fx令设 ,那么 ,因而 ,这说明()f?()f?()1ff?也是 的不动点,因而 ,即 ,在等式x()1f?两边求导得, ,32()1f???23xx????令 ,即得 , ,这是不可能的,命题得证。1x()f?2 求证:在 上不存在可导函数 ,使其满足 。Rf 2()fx?证明 如果这样的函数 存在,我们来求 的不动点,即满足 的()fx ()fx?,由假设 ,x23???,240或 ,1这表明 仅有两个不动点 或 ,()fx1x?3今设 , ,??(3f?那么 ,(1)f因而 ,(f这说明 也是 的不动点,因而 或 ,同理 或 ,?)x1??31??3若 , , ,这是不可能的,1?(23ff???2()f??若 , , ,3)1()f?,(fxfx??让 , ,()f??让 , ,3x?13?这也是不可能的,故这样的函数 是不存在的。f24 设 ,定义函数 , (假设对任[,]fCab?2 20()()(()limhfxfhfxDf????何 ,上述极限均存在) ,若 , ,求证:(,)xf(,)ab?,其中 , 为常数。12fc??1c2证明 令 ,只要证明 ,()()(()fbgxfaxa???()0,[]gxab??定义 ,()()x????0??直接验算可知, (1)222DgDf????现在证明 在 中不能取最大值,如果它在某点 取到最大,那么(,)ab0(,)xab?0002()()xh????因而 ,这与(1)矛盾,这说明 的最大值只能在 的两个断点 处20()D?(,)ab,ab达到,而 ,故 , ,ab?()0x()0gxx??????令 , ,即得 ,???()gx??于是 ,结论得证。()()fafaxb?例 3.1.5 设函数 在闭区间 上连续, ,且在开区间 内有连续()fx[,]()fab?(,)ab的右导数 , ,求证:存在一点 ,使0)(limhfxf???????,??得 。()???证明 若 常数,则 ,问题自明。现设 不恒等于常数,fx()fx?? ()fx为了证明存在 ,使得 ,只要证明存在 ,分别有(,ab?0??,,)ab???, ,那么 的连续性,便知存在 ,使得 。()0f????)f????()fx?? (?()0f????3事实上,找这样的 ,只要找最大、最小值点即可。,??因 ,所以最大、最小值至少有一个在内部达到,设 是 的()fab? (,)ab??f最大值点, (内部达最小值类似讨论)于是,()()lim0xff?????? ?任取一点 : ,因 在 上连续, 在 上必有一点 达到最小ca?f[,]cf[,]c????值,于是,()()li0xff????????如此,我们即达到了目的,结论得证。3.2.35 设 在 上连续, ,又设对一切 ,()f[,]ab()fab?(,)xab?存在,用 表示这一极限值,0()limtfxtft???gx试证:存在 ,使得 。(,)cab?()0c?吉米多维奇1286 若于某邻域 内,函数增量 的符号与自变量增量0x???00()()fxfx???的符号相同,函数 为在 点增大。证明:若函数 于无穷或有穷00x??()f f区间 内的每一点增大,则它在此区间内是增函数。(,)ab证明 要证对任意两点 ,都有 ,对 中每12x?12()axb?12()fxf?12[,]x一点

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