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三角形解题中的数学思想方法例析14页.doc

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内容要点:
三角形解题中的数学思想方法例析数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此,在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明,以供同学们学习参考应用.一、分类讨论思想当被研究的问题包含多种可能情况,不能一概而论时,必须按可能出现的所有情况分别来讨论,得出各种情况下相应的结论的处理问题的思维方法。例如三角形的分类:①按边分:???????不 等 边 三 角 形三 角 形 腰 和 底 边 不 相 等 的 三 角 形等 腰 三 角 形 等 边 三 角 形②按角分: ?锐 角 三 角 形 ( 三 个 角 都 是 锐 角 )三 角 形 直 角 三 角 形 ( 有 一 个 角 是 直 角 )钝 角 三 角 形 ( 有 一 个 角 是 钝 角 )例 1 已知等腰三角形的周长为 21㎝,两条边长之差为 3㎝,求各边的长。分析 已知两边之差为 3㎝,则较长的边有可能是腰也有可能是底,故应分两种财政部进行进行讨论。解:设腰长为 ㎝,①当较长边为腰时,则有 ,解得 。x2()21x???8x此时三边长分别为 8㎝,8㎝,5㎝。符合题意。②当较长边为底时,则有 ,解得 。2(3)1x??6此时三边长分别为 6㎝,6㎝,9㎝。符合题意。所以三边为 8㎝,8㎝,5㎝或 6㎝,6㎝,9㎝。例 2 在等腰三角形中,一腰上的中线把它的周长分为 15cm 和 6cm 两部分,求三角形各边的长.分析:要注意等腰三角形有两边相等 , 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为 15cm,哪一段为 6cm,故需分类讨论.解:设腰长为 xcm,底边为 ycm,即 AB=x,则 AD=CD= x,BC=y21⑴ 若 x+ x=6 时,则 y+ x=15.2121由 x+ x=6 得 x=4.把 x=4 代入 y+ x=15 得 y=13.因为 4+410 符合题意, 所以三角形三边分别为 10cm、10cm、1cm.例 3 已知非直角三角形 ABC 中,∠A=45°,高 BD 和 CE 所在直线交于 H,求∠BHC 的ACBD图 1度数.分析:三角形的形状不同 ,高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部,也可能在三角形外部,故应分两种情况加以讨论.解:⑴当△ABC 为锐角三角形时(图 2)∵BD、CE 是△ABC 的高, ∠A=45°, ∴∠ADB=∠BEH=90°.在△ABD 中, ∠ABD=180°-90°-45°=45°.∵∠BHC 是△BHE 的外角, ∴∠BHC=90°+45°=135°.⑵当△ABC 为钝角三角形时( 图 3)∵H 是△ABC 两条高所在直线的交点 ∠A=45°,∴∠ABD=180°-90°-45°=45°.在 Rt△BEH 中, ∠BHC=180°-90°-45°=45°.∴∠BHC 的度数是 135°或 45°.注意:涉及三角形高的问题,常常会因为高的位置而需要讨论,否则就会漏解.二、方程思想运用列方程的方法来解决与图形有关的计算问题是十分有效的手段。例 4 已知一个多边形,它的内角和等于外角和的 3 倍,且它的每一个内角都相等,求这个多边形各角的度数。解析 由于内角和等于外角和的 3 倍,可求出内角和,根据内角和反求出边数是解本题的关键;通过列方程来求解是解此类问题的一般方法。解:设这个多边形的边数为 ,则有 ,解得 。所以每内n0018(2)36n???8n?角的度数为 ,或每外角的度数为 所以每内角的度数00(82)1835????4

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